Paradoja del Mentiroso

Dijo Epiménides el cretense: “Todos los cretenses son mentirosos”.

Si dice la verdad, está mintiendo; si está mintiendo dice la verdad, pero entonces si dice la verdad está mintiendo… y así infinitamente. A pesar de que grandes lógicos y matemáticos como Bertrand Russell dedicaron parte de su vida a encontrarle una solución a este encadenamiento circular paradójico, nadie a podido resolverlo. Puede encontrarse una versión en el Nuevo Testamento en una epístola de San Pablo. Existen varias variantes de esta paradoja. Las versiones más cortas son:

“Yo miento”.

“Esta frase es falsa”.

Fernando Romo Feito proporciona la versión de los lógicos medievales:
“Si alguien dice que miente, miente o dice la verdad?”

Al principio se creía que esta circularidad infinita de la paradoja del mentiroso se debía a que alguien se refería a sí mismo, una autoalusión sería entonces la causante de esta paradoja. Sin embargo, una variante nos demuestra que la paradoja permanece aunque una persona se refiera a otra y no a sí misma:

“Platón: La próxima declaración de Sócrates será falsa.
Sócrates: ¡Platón ha dicho la verdad!”

Si lo que dice Platón es verdadero, lo que dirá Sócrates es falso, y si lo que Sócrates dirá es falso, Platón dice algo falso entonces Sócrates dice algo verdadero y …nuevamente entramos en un círculo vicioso.

El matemático P. E. B Jourdain inventó una versión en la que se puede hacer una tarjeta que de un lado dice:
“La frase escrita en la otra cara de esta tarjeta es verdadera”.
y del otro lado dirá:
“La frase escrita en la otra cara de esta tarjeta es falsa”.

Jorge Luis Borges hace una interesante recopilación tomando notas del libro de Edward Kasner y James Newman Mathematics and the Imagination:

“…el silogismo dilemático o bicornuto.
De este último, con el que jugaron los griegos (Demócrito jura que los abderitanos son mentirosos; pero Demócrito es abderitano…) hay casi innumerables versiones que no varían de método, pero sí de protagonistas y de fábula. Aulo Gelio (Noches áticas, libro quinto, capítulo X) recurre a un orador y a su alumno; Luis Barahona de Soto (Angélica, onceno canto), a dos esclavos; Miguel de Cervantes (Quijote, segunda parte, capítulo LI), a un río, a un puente y a una horca; Jeremy Taylor, en alguno de sus sermones, a un hombre que ha soñado con una voz que le revela que todos los sueños son vanos; Bertrand Russell (Introduction to Mathematical Philosophy, página 136), al conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos.

A esas perplejidades ilustres, me atrevo a agregar ésta:
En Sumatra, alguien quiere doctorarse de adivino. El brujo examinador le pregunta si será reprobado o si pasará. El candidato responde que será reprobado…Ya se presiente la infinita continuación”.

El Hotel de Hilbert

Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4… Una noche que estaba el hotel completamente ocupado llegó un cliente pidiendo una habitación. El gerente, que en sus ratos libres se dedicaba a las matemáticas, no vio problema ninguno: hizo que cada cliente se moviese a la habitación siguiente, de modo que el de la habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la tres, y así sucesivamente, de modo que todo el mundo quedó alojado y la habitación 1 libre para el recién llegado.

Al día siguiente la situación fue aún más complicada, pues llegó un autocar con infinitos turistas necesitados de habitación. El gerente, que no se arredraba ante nada, hizo que el ocupante de la habitación 1 pasase a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, y así sucesivamente según la regla n ► 2n, de modo que todas las habitaciones impares quedaron disponibles para los nuevos huéspedes.

¿Y si llegasen infinitos autobuses con infinitos viajeros cada uno?

La solución nos la ofrece sensei1405 y consiste en una sabia utilización de los números primos: “En principio lo que hace el gerente es liberar todas las habitaciones impares haciendo que todos los clientes se cambien a la habitación 2n. Seguidamente hace que los pasajeros del primer autobús se alojen en las habitaciones 3, 3^2, 3^3,…3^n, los del siguiente autobús en las habitaciones 5, 5^2, 5^3,.. 5^n, y así sucesivamente va alojando a los pasajeros de los infinitos autobuses utilizando para ello las potencias sucesivas de los infinitos números primos.”

Que sensei1405 se salte las potencias de 2 resalta el hecho de que 2 sea el único número primo par, añado.

La paradoja de la flecha

En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.

Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo.No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.

Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en otro lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerada. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

El lanzamiento de una piedra contra un árbol

Esta paradoja es una variante de la anterior.

Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que le separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro… De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que la cantidad de distancias recorridas (y tiempos invertidos en hacerlo) es infinita, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.

Aquiles y la tortuga

Aquiles, el hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Hector, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.
Actualmente, se conoce que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga, ya que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que le separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.
Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un espacio finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.
Otra forma de encarar el problema es huyendo del análisis infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides -el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon- no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.
El tema está en que la paradoja sólo se presenta considerando:”espacio y tiempo”. Si sólo consideramos espacio, realmente Aquiles supera y gana la carrera. Si sólo consideramos tiempo, Aquiles nunca logra superar a la tortuga.

Paradojas de Zenón

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para demostrar que la razón no siempre tiene la respuesta. Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible.

Pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Esto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.