Dimensión fractal

 Esponja de Menger

El concepto de dimensión en los fractales como consecuencia de la recursividad o autosimilitud a cualquier escala que poseen es algo muy complejo. Los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de sí mismos que se replican indefinidamente a menor escala, generándose una figura que tiene una superficie finita con un perímetro de longitud infinita y con un número infinito de vértices. En el lenguaje matemático del cálculo, diríamos que esta curva no se puede diferenciar.

Por ello, el concepto de dimensión juega un papel fundamental en la geometría fractal. Pero el dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a los conceptos tradicionales de la dimensión euclidiana o dimensión topológica. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. La dimensión fractal, se puede definir de diferentes maneras, siendo la más rigurosa la de Hausdorf y la más intuitiva y más fácil de aplicar es la de semejanza. Antes de definirla se debe señalar dos aspectos importantes relativos a la escala de medición y su relación con la expresión del tamaño y con la dimensión topológica para destacar que:
El valor del tamaño depende del valor de la escala.
Los valores de la dimensión topológica son independientes de la escala.

La dimensión definida por Felix Hausdorff en 1919, y perfeccionada más tarde por Besicovitch esta recogida en la definición de fractal que propone Benoit B. Mandelbrot :“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica”.

De una forma intuitiva la dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjuntos de longitud L que hacen falta para cubrir X por L. Esta dimensión se representa por la siguiente fórmula:

S = LD

Donde S es el tamaño del fractal, L la escala de medición D es la dimensión fractal que buscamos. Operamos para despejar D:

log S = D log L ——-> D = log S / log L

Como veremos la dimensión de homotecia Hausdorff- Besicovitch, es una generalización de la dimensión euclidiana, que con carácter general, tiene valores enteros e iguales a la dimensión topológica para las líneas, polígonos y sólidos y valores fraccionarios y superiores a su dimensión topológica en los fractales.

Analizaremos algunos ejemplos de:

• Objetos de dimensión topológica euclidiana.

• Objetos de dimensión fractal.

Dimensión topológica

 

La dimensión topológica es fácil de comprender ya que nos habla de la conectividad de los puntos del objeto de medida. En los Elementos de Euclides, ya se define, implícitamente y de forma inductiva, el concepto de dimensión topológica euclidiana. Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies.

Profundizando un poco más y desde un punto de vista topológico sabemos que la circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie (pues es posible transformar una en la otra mediante una deformación continua, ahora bien, desde un punto de vista métrico no son la misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de las matemáticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y analizar, por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva, cómo hay que analizarlo, qué hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes matemáticos. En el ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión topológica.

Señalaremos finalmente que el propio concepto dimensión tiene un significado matemático muy amplio, y por lo tanto se ofrecen un amplio repertorio de definiciones. Entre ellas existe siempre la noción de recubrimiento del objeto estudiado, por otra forma matemática cuyo diámetro tiende a cero. Si tenemos en cuenta la definición inductiva de dimensión topológica dada por Poincaré (” un objeto tiene dimensión topológica “m” cuando cualquier recubrimiento de ese objeto, tiene dimensión topológica “m”), debemos añadir que el conjunto vacío tiene dimensión –1.
Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza, llamada también de autosemejanza, que sugirió Felix Hausdorff en 1919, readaptada posteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich) y que se recoge en la definición de fractal que propone Benoit B. Mandelbrot.

Autosemejanza

Se dice que un objeto es autosemejante si se puede construir a partir de copias semejantes, en el sentido de las transformaciones geométricas de sí mismo. La propiedad de un fractal de poseer detalle a todas las escalas de observación, se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala característica o lo que es lo mismo todas las escalas son “buenas” para representar un fractal.

Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosemejanza a cualquier escala, es decir, tiene la propiedad de que una pequeña sección suya puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal.

Helecho de Barnsley

De una forma mas rigurosa, podríamos decir que en general, F es una estructura autosemejante si puede ser construida como una reunión de estructuras, cada una de las cuales es una copia de F a tamaño reducido (una imagen de F mediante una semejanza contractiva).

Un aspecto final a destacar, es el relativo la medición. Con carácter general esta depende de la escala escogida para realizar la observación y en los fractales esa escala significa autosemejanza. Autosemejanza tan perfecta, que sería imposible distinguir una instantánea de un fractal a escala 1 que otra hecha a escala 200, simplemente por la autorrecurrencia que muestran los objetos fractales, por su simetría dentro de una escala, por su pauta en el interior de una pauta. Los objetos fractales están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.

Cuadrado, o alfombra, de Sierpinski.

Fractales

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. Esta expresión, así como el concepto, se deben al matemático Benoît B. Mandelbrot y aparece publicado por primera vez en el año 1975 en un ensayo titulado “Les objets fractales: Forme, hasard et dimension”.

En la introducción de la citada monografía se puede leer:

“ El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado,…, a partir del adjetivo latino “fractus”,…”

La definición de fractal es compleja y controvertida. Aparece publicada en el año 1982 en un nuevo libro de Benoît B. Mandelbrot titulado “The Fractal Geometry of Nature”, el cual estaba ilustrado con gráficos espectaculares creados con la tecnología informática, que por aquel tiempo, estaba a su disposición. En la página 15 de esta obra, Mandelbrot propone la siguiente definición: “Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Este concepto no es definitivo, hasta el mismo Mandelbrot reconoce que no incluye algunos conjuntos que, por otras razones, deben incluirse en la categoría de fractales. Han sido propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, describe un concepto de estructura fractal ‘F’, como aquella que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

• “F” posee detalle a todas las escalas de observación.

• No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente.

• “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.

• La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica.

• El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Estas propiedades que definen a los fractales en sentido amplio debemos considerarlas de forma análoga a como los biólogos aplican el concepto de vida. En efecto, los fractales, como los seres vivos, satisfacen la mayor parte de las propiedades de una lista, pero algunos de ellos -fractales o seres vivos- carecen de alguna de ellas y, sin embargo, entran en la categoría correspondiente.

La comprensión del concepto requiere el conocimiento de algunas nociones autosemejanza, dimensión fractal y dimensión topológica que veremos en siguientes post.