Dimensión topológica

 

La dimensión topológica es fácil de comprender ya que nos habla de la conectividad de los puntos del objeto de medida. En los Elementos de Euclides, ya se define, implícitamente y de forma inductiva, el concepto de dimensión topológica euclidiana. Se dice que una figura es unidimensional, si su frontera está compuesta de puntos; bidimensional, si su frontera está compuesta de curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta de superficies.

Profundizando un poco más y desde un punto de vista topológico sabemos que la circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie (pues es posible transformar una en la otra mediante una deformación continua, ahora bien, desde un punto de vista métrico no son la misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de las matemáticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y analizar, por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva, cómo hay que analizarlo, qué hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes matemáticos. En el ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión topológica.

Señalaremos finalmente que el propio concepto dimensión tiene un significado matemático muy amplio, y por lo tanto se ofrecen un amplio repertorio de definiciones. Entre ellas existe siempre la noción de recubrimiento del objeto estudiado, por otra forma matemática cuyo diámetro tiende a cero. Si tenemos en cuenta la definición inductiva de dimensión topológica dada por Poincaré (” un objeto tiene dimensión topológica “m” cuando cualquier recubrimiento de ese objeto, tiene dimensión topológica “m”), debemos añadir que el conjunto vacío tiene dimensión –1.
Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza, llamada también de autosemejanza, que sugirió Felix Hausdorff en 1919, readaptada posteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich) y que se recoge en la definición de fractal que propone Benoit B. Mandelbrot.

Homenaje Juan Antonio Cebrián

Muchas veces he pensado que con las palabras se explican los sentimientos, pero hoy es de esos días en que te das cuentas que es muy dificil intentar decir con ellas un adiós a un amigo al que ni siquiera conoces personalmente.

El pasado 20 de Octubre Cebrian me pillo de viaje, casualidades da la vida, el tomó el suyo, ¿donde?, seguro que a algún LUGAR DE PODER, donde pueda estar sentado en una mesa y charlar con sus amigos de los PASAJES DE LA HISTORIA, ellos no le reconocerán, le preguntarán su nombre, les dirá riéndose que es LA MOMIA DE AMENOFIS IV, a los que sepan de historia les descubrirá el MISTERIO. A los que sepan de misterio, les dirá quien era TINTÍN. A los que sepan de CÓMIC les mostrará el CINE. A los de CINE … LEYENDAS, A los tristes la alegría. A los difíciles, lo simple…

A mi me enseñó todo eso y más, ahora no me ha dicho ni adios, pero se que no ha podido, quizás no haya querido despedirse de nadie porque en realidad quiere seguir entre todos nosotros, seguro que lo conseguirá.

Desde aquí, esta humilde persona y un ferviente admirador y alumno por ondas suyo, mi más absoluto agradecimiento a él, y mi más profunda condolencia a familiares, compañeros y amigos.

FUERZA Y HONOR.

ADIÓS CEBRI (descargar homenaje)

Aquiles y la tortuga

Aquiles, el hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Hector, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.
Actualmente, se conoce que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga, ya que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que le separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.
Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un espacio finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.
Otra forma de encarar el problema es huyendo del análisis infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides -el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon- no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.
El tema está en que la paradoja sólo se presenta considerando:”espacio y tiempo”. Si sólo consideramos espacio, realmente Aquiles supera y gana la carrera. Si sólo consideramos tiempo, Aquiles nunca logra superar a la tortuga.

Paradojas de Zenón

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para demostrar que la razón no siempre tiene la respuesta. Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible.

Pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Esto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.

Google Analytics

 

Acabo de crear una cuenta en Google Analytics. A partir de ahora ya está todo el mundo que entre en .:: khaos1101 ::. controlado. Así, podré saber la resolución con la que navegais, el sistema operativo que utilizais, el navegador y decenas de cosas más que me servirán para mejorar el pequeño servicio que doy en la Red.

Autosemejanza

Se dice que un objeto es autosemejante si se puede construir a partir de copias semejantes, en el sentido de las transformaciones geométricas de sí mismo. La propiedad de un fractal de poseer detalle a todas las escalas de observación, se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala característica o lo que es lo mismo todas las escalas son “buenas” para representar un fractal.

Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosemejanza a cualquier escala, es decir, tiene la propiedad de que una pequeña sección suya puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal.

Helecho de Barnsley

De una forma mas rigurosa, podríamos decir que en general, F es una estructura autosemejante si puede ser construida como una reunión de estructuras, cada una de las cuales es una copia de F a tamaño reducido (una imagen de F mediante una semejanza contractiva).

Un aspecto final a destacar, es el relativo la medición. Con carácter general esta depende de la escala escogida para realizar la observación y en los fractales esa escala significa autosemejanza. Autosemejanza tan perfecta, que sería imposible distinguir una instantánea de un fractal a escala 1 que otra hecha a escala 200, simplemente por la autorrecurrencia que muestran los objetos fractales, por su simetría dentro de una escala, por su pauta en el interior de una pauta. Los objetos fractales están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.

Cuadrado, o alfombra, de Sierpinski.